1 asal sayı mı? Asal sayılar kulübünün kapı kuralı
“1 asal sayı mı?” sorusu Google'da her yıl okul açılışında zirve yapıyor. 6. sınıfta asal sayılar anlatılıyor, ödevler geliyor ve evlerde tartışma başlıyor: “1 sadece 1'e ve kendisine bölünüyor, o zaman asal!” Mantıklı görünüyor ama değil. Nedenini görelim.
Asal sayı nedir?
Doğru tanım şudur:
Okulda sık duyulan “sadece 1'e ve kendisine bölünen sayı” tanımı eksik. Çünkü 1 için “1” ve “kendisi” aynı sayı. Yani 1'in iki farklı böleni yok, sadece bir böleni var.
| Sayı | Pozitif bölenleri | Bölen sayısı | Türü |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | Ne asal ne bileşik |
| 2 | 1, 2 | 2 | Asal |
| 3 | 1, 3 | 2 | Asal |
| 4 | 1, 2, 4 | 3 | Bileşik |
| 7 | 1, 7 | 2 | Asal |
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 6 | Bileşik |
1 neden asal kabul edilmiyor?
Bu sadece bir tanım inadı değil. Asıl sebep, matematiğin en önemli kurallarından birini korumak: Aritmetiğin Temel Teoremi.
Bu teorem der ki: 1'den büyük her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak tek bir şekilde yazılabilir (çarpanların sırası hariç).
1'i asal sayarsak bu teklik çöker:
12'nin sonsuz farklı “asal çarpanlara ayrılışı” olurdu ve EBOB-EKOK hesabından şifreleme sistemlerine kadar pek çok şey karışırdı. Matematikçiler de “1'i kulübe almayalım, kurallar düzgün çalışsın” dedi.
2: Tek çift asal sayı
En küçük asal sayı 2'dir ve 2 aynı zamanda çift olan tek asal sayıdır. Neden? Çünkü 2'den büyük her çift sayı 2'ye de bölünür; yani en az üç böleni olur (1, 2 ve kendisi). 2 ise çiftlerin arasındaki tek şanslı.
1'den 100'e kadar asal sayılar
Asal sayıları bulmanın en eski ve en eğlenceli yolu Eratosthenes Kalburu'dur (MÖ 3. yüzyıl). 1'den 100'e kadar sayıları yaz, 1'i sil, sonra 2'nin, 3'ün, 5'in ve 7'nin katlarını (kendileri hariç) üzerini çizerek ele. Geriye kalanlar asaldır.
Bir sayının asal olup olmadığı nasıl anlaşılır?
Her sayıyı tek tek bölmene gerek yok. Kısa yol şu:
- Sayının karekökünü yaklaşık bul.
- Kareköke kadar olan asal sayılara böl.
- Hiçbirine tam bölünmüyorsa sayı asaldır.
91 asal mı? √91 ≈ 9,5 olduğu için 2, 3, 5 ve 7'ye bakmak yeterli. 91 ÷ 7 = 13. Tam bölündü, yani 91 asal değil (91 = 7 × 13). Bu, öğrencilerin en çok kandığı sayıdır; “asal gibi görünen bileşik sayıların şampiyonu”.
97 asal mı? √97 ≈ 9,8. 97; 2'ye, 3'e, 5'e ve 7'ye bölünmüyor. O hâlde 97 asaldır.
Neden kareköke kadar bakmak yetiyor? Çünkü bir sayı iki çarpana ayrılıyorsa, çarpanlardan biri mutlaka karekökten küçük veya eşittir. İkisi birden karekökten büyük olsaydı çarpımları sayıyı aşardı.
Asal sayılar sonsuz mu?
Evet. Öklid yaklaşık 2300 yıl önce bunu çok zarif bir yolla ispatladı: Diyelim ki asallar bitti ve hepsini çarptık. Sonuca 1 ekleyelim. Yeni sayı listedeki hiçbir asala tam bölünmez (hep 1 kalır). O zaman ya kendisi asaldır ya da listede olmayan bir asala bölünür. İki durumda da listemiz eksik çıkar. Yani asalların sonu yoktur.
Bugün bilinen en büyük asal sayılar on milyonlarca basamaklıdır ve bilgisayarlarla bulunur. İnternetteki şifreleme sistemleri (örneğin RSA) de çok büyük asal sayıların çarpanlarını bulmanın aşırı zor olmasına dayanır. Yani banka şifren, asal sayılar sayesinde güvende.
Özet
- Asal sayı: tam iki farklı pozitif böleni olan sayı.
- 1 asal değildir; ne asal ne bileşiktir.
- En küçük asal 2, tek çift asal da 2'dir.
- 1-100 arasında 25 asal vardır.
- Asallık testi için kareköke kadar olan asallara bölmek yeterlidir.
Sık sorulan sorular
1 asal sayı mıdır?
Hayır. Asal sayıların tam olarak iki farklı pozitif böleni vardır. 1'in yalnızca bir pozitif böleni (kendisi) olduğu için asal değildir.
En küçük asal sayı kaçtır?
En küçük asal sayı 2'dir. 2 aynı zamanda tek çift asal sayıdır; diğer tüm asal sayılar tektir.
1 ile 100 arasında kaç asal sayı vardır?
25 tane: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Bir sayının asal olup olmadığı nasıl anlaşılır?
Sayının kareköküne kadar olan asal sayılara bölünüp bölünmediğine bakılır. Hiçbirine tam bölünmüyorsa sayı asaldır. Örneğin 97 için √97 ≈ 9,8 olduğundan 2, 3, 5, 7'ye bakmak yeterlidir.
1 asal değilse ne tür bir sayıdır?
1 ne asal ne de bileşik sayıdır. Kendine özgü bir 'birim' sayıdır. Asal ve bileşik sayılar 2'den başlar.
Asal sayılar sonsuz mu?
Evet. Öklid yaklaşık 2300 yıl önce asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu ispatlamıştır.