Olasılık nedir, nasıl hesaplanır? Zar, yazı-tura ve kumarbaz yanılgısı
Yarın yağmur yağma ihtimali %70. Piyangoyu kazanma şansı milyonda bir. Derbiyi kim kazanır? Hayatımız ihtimallerle dolu ve olasılık, bu belirsizliği sayıya dökmenin yolu. LGS'de 8. sınıfta, TYT'de ve AYT'de karşına çıkıyor; üstelik sezgilerimizin en çok yanıldığı matematik konusu.
Olasılık nedir?
Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansını 0 ile 1 arasında bir sayıyla gösterir.
- P = 0 → imkânsız olay (zarda 7 gelmesi)
- P = 1 → kesin olay (zarda 7'den küçük gelmesi)
- P = 1/2 → yarı yarıya (yazı gelmesi)
Temel örnekler
| Deney | Olay | Olasılık |
|---|---|---|
| Bir zar | 6 gelmesi | 1/6 |
| Bir zar | Asal sayı gelmesi (2, 3, 5) | 3/6 = 1/2 |
| Bir para | Yazı gelmesi | 1/2 |
| İki para | İkisinin de yazı gelmesi | 1/4 |
| 52'lik deste | As çekmek | 4/52 = 1/13 |
| Torbada 3 kırmızı, 5 mavi top | Kırmızı çekmek | 3/8 |
“Ve” ile “veya” kuralları
Bağımsız olaylar: “ve” → çarp
Bir olayın sonucu diğerini etkilemiyorsa olaylar bağımsızdır. İkisinin birlikte olma olasılığı çarpılarak bulunur:
Ayrık olaylar: “veya” → topla
İki olay aynı anda olamıyorsa ayrıktır. Birinin veya diğerinin olma olasılığı toplanır:
Olaylar aynı anda olabiliyorsa kesişim bir kez çıkarılır: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Tümleyen: “olmama” olasılığı
3 kez para atılıyor. En az bir tura gelme olasılığı nedir?
“En az bir” gördüğün her soruda önce “hiç olmama” durumunu hesapla. Birçok durumu tek tek toplamaktan çok daha kısadır.
Ağaç şeması ile görselleştirme
Buradan ilginç bir sonuç: İki parada “bir yazı bir tura” gelme olasılığı 1/3 değil, 1/2'dir (YT ve TY, iki ayrı dal).
İki zar ve en şanslı sayı: 7
İki zar atıldığında 6 × 6 = 36 eşit olası sonuç vardır. Toplamlar eşit olası değildir:
Sezgilerin yanıldığı iki meşhur problem
Kumarbaz yanılgısı
Rulette 10 kez üst üste kırmızı geldi. “Artık siyah gelir” diye düşünmek çok doğal ama yanlış. Rulet çarkı, zar ve madeni para hafıza tutmaz. Her tur bağımsızdır; bir sonraki turun olasılıkları hiç değişmez. 1913'te Monte Carlo Kumarhanesi'nde siyahın 26 kez üst üste geldiği ve bu yanılgıya kapılanların büyük paralar kaybettiği anlatılır. Bu yüzden bu yanılgıya “Monte Carlo yanılgısı” da denir.
Doğum günü problemi
Bir sınıfta kaç kişi olmalı ki iki kişinin aynı gün doğmuş olma ihtimali %50'yi geçsin? Çoğu kişi 180 civarı der. Cevap: sadece 23 kişi.
Sebep: 23 kişide karşılaştırılacak 253 farklı ikili var (C(23, 2) = 253). 70 kişide olasılık %99'u geçer. Sınıf mevcudunuz 30'un üstündeyse, büyük ihtimalle aranızda doğum günü ikizi var; test edin!
Özet
- P(A) = istenen / tüm durum; 0 ≤ P ≤ 1.
- Ve (bağımsız) → çarp, veya (ayrık) → topla.
- “En az bir” → 1 − P(hiç).
- Geçmiş sonuçlar bağımsız olayları etkilemez.
- 23 kişide doğum günü çakışması olasılığı %50'yi geçer.
Sık sorulan sorular
Olasılık nedir?
Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansını 0 ile 1 arasında bir sayıyla ifade eder. 0 olayın imkânsız, 1 kesin olduğunu gösterir. Yüzde olarak da yazılabilir: 0,25 = %25.
Olasılık nasıl hesaplanır?
Tüm sonuçların eşit şanslı olduğu durumlarda olasılık = istenen durum sayısı ÷ tüm durum sayısıdır. Bir zarda çift sayı gelme olasılığı: {2, 4, 6} → 3/6 = 1/2.
İki zar atıldığında toplamın 7 gelme olasılığı nedir?
İki zarda 36 eşit olası sonuç vardır. Toplamı 7 yapan 6 sonuç vardır: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Olasılık 6/36 = 1/6'dır ve 7, iki zarda en olası toplamdır.
Arka arkaya 5 kez yazı geldiyse tura gelme olasılığı artar mı?
Hayır. Her atış bağımsızdır ve paranın hafızası yoktur. 6. atışta tura gelme olasılığı yine 1/2'dir. Aksini düşünmeye kumarbaz yanılgısı denir.
Bir olayın olmama olasılığı nasıl bulunur?
Bir olayın gerçekleşmeme olasılığı 1 − P(A)'dır. 'En az bir' içeren sorularda önce hiç olmama olasılığını bulup 1'den çıkarmak genellikle en kısa yoldur.
Doğum günü problemi nedir?
Rastgele seçilen 23 kişilik bir grupta en az iki kişinin aynı gün doğmuş olma olasılığı yüzde 50'den fazladır. 70 kişide bu olasılık yüzde 99'u geçer. Sezgiye aykırı olduğu için 'doğum günü paradoksu' olarak bilinir.